引入

在结束了有参估计，无参估计后，现在记录混合模型（Mixture models）。这里附一张有参和无参的对比图（本来应该附在Part 2的，不想回去改了。。）：

字面意思，混合模型就是有参模型和无参模型的混合。

举个例子，高斯模型的混合（Mixture of Gaussians，MoG）。\
现有三个高斯模型如下：

我们可以将其视为：

其概率密度可以近似表示为： $p(x)=\sum^M_{j=1}p(x|j)p(j)$ 各变量有如下关系：

大概解释一下：$p(x|j)$表示第$j$个高斯模型的概率密度，$p(j)=\pi_j$表示第$j$个高斯模型出现的概率，是一种先验概率。\
这里记住两点：

即是说，混合模型概率密度积分为1，然后对于混合模型的每个子模型，我们都要求出对应的三个值（均值，方差和模型先验），这是对于MoG而言的。

求解方法

MLE法

对于简单的（单个）高斯模型，我们可以用MLE近似求解，但在高斯混合中无法使用该方法，因为我们在求参数时并不知道这个参数属于高斯混合的哪个子分布。如下：

这个$p(j|x)$我们是无法观测到的，毕竟如果这个都知道，那高斯混合就只是多个高斯模型的简单叠加而已。\
也就是说单个高斯模型的参数会取决于所有高斯模型的参数。所以MLE不可用。

Clustering

分为两种：

Clustering with soft assignments\

Clustering with hard assignments

简单说的话，hard assignments是根据Label划分的，也就是说每个数据点只属于一个label，比如说K-mean；soft assignment是根据概率区分的，每个数据点可能属于多个label，但概率不同。如下图：

这里只介绍soft assignment，毕竟两个几乎是一样的。这就要用到这章的重点了，$EM$算法。

$EM$算法

大概的说明

$EM$算法是一种迭代算法，本质上它也是一种最大似然估计的方法，其特点是，当我们的数据不完整时，比如说只有观测数据，缺乏隐含数据时，可以用EM算法进行迭代推导。\
该算法包括$E$步骤和$M$步骤，这里不具体介绍一般性的$EM$算法，主要说明其在高斯混合中如何运用。其步骤大体可以概括为：

随机初始化各子分布的期望$\mu_1,\mu_2…\mu_m$。

E-step：计算每个子分布的后验 $p(j|x_n)$

M-step计算所有数据点的加权平均值

其效果如下图所示：

较为详细的说明

现在说一下更加详细的步骤。\
假设现在有两组数据，即是观测数据和隐藏数据：

Incomplete (observed) data: $X={(X_1, X_2, … ,X_n)}$

Hidden (unobserved) data: $Y=(Y_1, Y_2,…,Y_n)$

组合后形参完整数据：

Complete data: $Z=(X,Y)$

对于不完整的数据（观测数据），其似然为： $L(\theta|X)=p(X|\theta)=\prod_{n=1}^{N}p(X_n|\theta)$ 对于完整数据（Z），其似然为：

在这里我们虽然不知道$Y$，但如果我们知道当前的参数猜测$\theta^{i-1}$，我们就能用它来预测$Y$。\
在这里我们计算完整数据的对数似然的期望，如下：

其中$X$和$\theta^{i-1}$是已知的。更进一步展开如下：

这个等式是根据均值和积分的关系写出来的。即是如下关系：\

$E[x]=\int_Xxf(x)dx$$其中$f(x)$是概率密度（_这部分不太确定，有错的话麻烦大家指出_）。\ 我们需要最大化这个$Q$函数。\ 接下来是$EM$算法：\ **E-step(expectation)**: 计算$p(y|X,\theta^{i-1})$以便计算$Q(\theta,\theta^{i-1})$;\ **M-step(maximization)**: 最大化$Q$函数求出$\theta$ $$\hat{\theta}=arg max_\theta Q(\theta,\theta^{i-1})$

这是一种迭代运算，我们要确保每次迭代中，第$i$次的结果至少和第$i-1$的一样好，即是： $Q(\theta^i,\theta^{i-1})\geq Q(\theta^{i-1},\theta^{i-1})$
若该期望值对于$\theta$来说是最大的，则可以认为(==这部分未理解==)： $L(\theta^i|X)\geq L(\theta^{i-1}|X)$
也就是说，在每次迭代中观测数据的对数似然都会不断增大（或者至少保持不变），最终达到局部最大值。\
所以，在实际运用中，初始化对于$EM$算法很重要，一个不好的初始化可能会使结果停在一个不好的局部最优值中。

高斯混合中的$EM$算法（EM for Gaussian Mixtures）

步骤：

初始化参数$\mu_1,\sigma_1, \pi_1…$\
循环，直到满足终止条件：
1. E-step: 计算每个数据点对于每个子分布的后验分布:
  
  这里的$\alpha$可以理解成每个数据点属于各个子分布的权重或者说概率。\
2. M-step: 使用E步骤的权重进行更新数据：至此，高斯混合的$EM$算法就结束了，然后还有最后一个问题，这部分不太理解，但把结论贴上来吧，以后再探究：

（附）作业相关代码

也就是给出数据点，然后用EM算法进行高斯拟合：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import multivariate_normal

def load_data(path):
    return np.loadtxt(path)

def init_params(k, d = 2):
    pi = np.ones(k) * 1/k
    mu = [np.random.rand(2, 1) for i in range(k)]
    cov = [np.eye(2) for i in range(k)]

    return pi, mu, cov

def EM(iter_times, data, k):
    pi, mu, cov = init_params(k)
    N = data.shape[0]
    alpha = np.zeros((N, k))
    likelihood_list = []

    def update_alpha(alpha, N, k):
        for i in range(N):
            for j in range(k):
                p_ij = pi[j] * multivariate_normal.pdf(data[i], mu[j].flatten(), cov[j])
                alpha[i][j] = p_ij
                likelihood[i] += p_ij
            alpha[i] = alpha[i] / np.sum(alpha[i])
        return alpha

    sigma = np.empty((N, 2, 2))
    for i in range(N):
        d = data[i, :].reshape(2, -1)
        sigma[i] = np.dot(d, d.T)

    
    for i in range(iter_times):
        likelihood = np.zeros(N)
        # E-step: update alpha
        alpha = update_alpha(alpha, N, k)
        likelihood_list.append(np.sum(np.log(likelihood)))
        # M-step: update mu, cov, pi
        N_j = np.sum(alpha, axis = 0)

        for j in range(k):
            # update mu
            alpha_x = 0
            alpha_x_mu = 0
            for n in range(N):
                alpha_x += (alpha[n][j] * data[n])
            alpha_x = alpha_x.reshape(2,1)
            mu[j] = alpha_x / N_j[j]
            # update pi
            pi[j] = N_j[j] / N
            # update cov
            for n in range(N):
                alpha_x_mu += alpha[n][j]*(data[n] - mu[j].T)*(data[n] - mu[j].T).T
            cov[j] = alpha_x_mu / N_j[j]

    plot_contour(iter_times, data, mu, cov, k)
    if iter_times == 30:
        plt.figure()
        plt.plot(np.arange(1, 31), np.array(likelihood_list))
        plt.title('log-likelihood for every iteration')
        plt.xlabel('iteration')
        plt.ylabel('log-likelihood')
        plt.grid()
        plt.show()
    
def plot_contour(iter_num, data, mu, cov, k):
    plt.figure()
    plt.title("iter_num = %d" % iter_num)
    plt.scatter(data[:,0], data[:,1])
    x_min, x_max = plt.gca().get_xlim()
    y_min, y_max = plt.gca().get_ylim()

    num = 50
    x = np.linspace(x_min, x_max, num)
    y = np.linspace(y_min, y_max, num)
    X, Y = np.meshgrid(x, y)

    for sub_k in range(k):
        Z = np.zeros_like(X)
        for i in range(len(x)):
            for j in range(len(y)):
                z = multivariate_normal.pdf(np.array([[x[i]], [y[j]]]).flatten(), mu[sub_k].flatten(), cov[sub_k])
                Z[j, i] = z
        plt.contour(X, Y, Z)
        plt.show()

path = "./dataSets/gmm.txt"

def main():
    k = 4
    iter_lst = [1, 3, 5, 10, 30]
    pi, mu, cov = init_params(k)
    data = load_data(path)
    for i in iter_lst:
        EM(i, data, k)

if __name__ == '__main__':
    main()