四元数的基本知识：
与复数类似，四元数也由实部和虚部组成，但四元数有三个虚部，通常表示为：
或:
这三个虚部满足下面关系：
在复数中，乘以一个 $i$ 相当于旋转90度，但四元数中不同，乘以$i$ 表示对应旋转180度，这样才能保证 $ij = k$，而$i^2 = -1$表明，旋转360度后会得到一个相反的东西，要旋转两周才能回到原来的样子（看着挺反常识的。。。。。。）
四元数的运算
(这里介绍加减，乘，模，共轭，逆，数乘)\
现定义两个四元数
1).加减
2). 乘法
乘法是把$q_{a}$每一项都与$q_{b}$相乘，虚部部分的运算要按照上面图1的规则计算：
(看着挺复杂，但写成向量内外积的形式就会简洁很多: )
(由于最后一项外积的存在，这个乘法通常是不可交换的，除非$v_{a},v_{b}$在$R^{3}$中共线，此时外积项为0.)
3). 模长
四元数的模长定义为：
两个四元数乘积的模等于模的乘积：
4). 共轭
即是把虚部取相反数：
四元数共轭与其本身相乘会得到一个实四元数，其实部等于模长的平方：
5). 逆
四元数的逆为：
若$q$为单位四元数，则其逆和共轭就是同一个量。另外，乘积的逆具有和矩阵相似的性质：
6). 数乘
旋转表示
首先有一个待旋转点$p$，表示成一个纯四元数为：其三个虚部分别对应$x,y,z$三个坐标轴，旋转四元数表示为$q$，是一个单位四元数。对于旋转后的点$p’$表示如下：
对于旋转有如下要求：
- 旋转前后的模应相等；\
- 旋转后的点$p’$应该也为纯四元数。
由于$q$为单位四元数，模为$1$，对应上面四元数模的性质可知$p’$满足条件1，但对于条件2则只有当$p$和$q$虚部正交时才能满足（原因的话网上有很多篇文章都有对其展开计算，这里就懒得写了……）。\
一般情况下会把旋转表示成下面这种形似：
（有些地方这个逆也会用共轭代替，这无所谓，因为$q$是单位四元数）\
至于为什么是这种形式，因为Hamilton发现，如果右乘一个$p$的逆，则可以同时满足上面两个条件（可具体展开乘一下或者直接用特殊值法）。
四元数与其它旋转方式之间的转换
任意一个单位四元数可以表示一个旋转，这个旋转也可以用旋转矩阵或者旋转向量来表示，这里主要讨论这三者的关系。 \
（现在把四元数乘法表示为矩阵乘法）\
设$q=[s,v]^{T}$，首先定义两种新的符号$^{+}$和$^{\oplus}$。
其中的符号$^{\land}$表示反对称矩阵，即：$A’=-A$，举个例子，设：
则$a^{\land}$为：
这两个符号将四元数映射成一个$4\times4$矩阵。\
所以，四元数乘法写成矩阵形式如下：
同理：
进一步：
代入对应矩阵：
由于$p$和$p’$都是纯四元数，所以上面矩阵的右下角即是从四元数到旋转矩阵的变换关系：
然后现在是四元数到旋转向量的变换，对上式两侧求迹（对角线的总和）：
转角$\theta$为：
即：
所以：
然后是旋转轴：\
上面最后一个矩阵那，如果用$q$ 的虚部代替$p$，则表示$q$的虚部组成的向量在旋转时是不变的，即为旋转轴。此时只要把它除以它的模长即可。\
最后，四元数到旋转向量的转换如下：
注：本文主要参考《视觉SLAM十四讲》