【学习随记】各种空间的简单介绍

因为经常遇到各种特定的空间，有些没接触过，有些又容易弄混，这里做个记录，这篇应该会不断更新，毕竟空间概念这么多。（注：这里只是最简单的介绍）

先解释相关概念。

相关概念：

完备性

简单说的话，就是对极限封闭。也就是说，如果对于空间$S$内的一点$s_i$，$\lim_{i\rightarrow\infty}s_i=s$，$s$也属于空间$S$的话，则称该空间具有完备性。

内积

说到内积，第一反应应该就是向量内积，即：$\langle a,b \rangle = |a|*|b|*\cos\theta$，但更广泛的话，内积应该满足以下三个条件($f,g$都是空间元素)：

1. 对称性：$\langle f,g \rangle = \langle g,f \rangle$；
2. 正定性：$\langle f,f \rangle \ge0$，当且仅当$f=0$时等号成立。
3. 线性：$\langle r_1f_1+r_2f_2,g \rangle = r_1\langle f_1,g \rangle+r_2\langle f_2,g \rangle$

空间

度量（距离）空间

设$X$是非空集合，对于$X$中的任意两个元素$x,y$，按某一法则都对应唯一的实数$\rho(x,y)$，并满足下面三个条件（距离公理）：

1. 非负性：$\rho(x,y)\ge0$，当且仅当$x=y$时，$\rho(x,y)=0$;
2. 对称性：$\rho(x,y)=\rho(y,x)$;
3. 三角不等式：对任意$x,y,z$，$\rho(x,y)\leq\rho(x,z)+\rho(z,y)$

则称$\rho(x,y)$为$x$与$y$的距离（或度量），并称$X$是以$\rho$为距离的距离空间，记作$(X,\rho)$。
这里的距离不局限于“点空间”内的距离，比如下面两个也满足距离：$\rho(x,y)=\max\limits_{1\leq k\leq n}|x_k-y_k|$$$$\rho(x,y)=\sum_{k=1}^{n}|x_k-y_k|$ $L^p[a,b]$表示区间$[a,b]$绝对值$p$次幂$L$可积函数的全体，并把几乎处处相等的函数看成是同一个函数，对于$x,y\in L^p[a,b]$，规定$\rho(x,y)=[\int_a^b|x(t)-y(t)|^pdt]^{1/p},p\ge1$则$L^p[a,b]$构成一个距离空间，称为$p$次幂可积函数空间。

线性空间

直观理解的话就是拥有加法和数乘的非空集合。首先要求非空，其次满足加法运算的4个属性：

1. 加法交换律
2. 加法结合律
3. 存在零元：$x+0=x$
4. 存在逆元：$x+(-x)=0$

满足数乘的4个属性：

1. $1x=x$
2. $a(bx)=(ab)x$
3. $(a+b)x=ax+bx$
4. $a(x+y)=ax+ay$

赋范空间

设$X$是实（或复）线性空间，如果对于$X$中的每个元素$x$，按照一定的法则对应于实数$||x||$，且满足：

1. $||x||\ge0$，当且仅当$x$等于零元（$x=0$）时$||x||=0$;
2. $||ax||=|a|||x||$，$a$是实（或复）数；
3. $||x+y||\leq||x||+||y||$

则称$X$是实（或复）赋范线性空间，$||x||$称为$x$的范数。

注：赋范线性空间必然是距离空间。定义$\rho(x,y)=||x-y||$

与距离空间的不同在于：

1. 平移不变性：$d(x+a,y+a)=d(x,y)$，$x,y,a\in X$
2. 齐次性：$d(ax,ay)=|a|d(x,y)$，$x,y\in X$，$a\in K$。（$K$是实（或复）数域）。

Banach 空间

如果赋范线性空间是完备的，则称该赋范线性空间是Banach 空间。

内积空间

（注：这里的括号全都应该为尖括号）
设$X$是定义在实（或复）数域$K$上的线性空间，若对于$X$任意一对有序元素$x,y$, 恒对应数域$K$的值$(x, y)$，且满足：

1. $(ax,y)=a(x,y)$
2. $(x+y,z)=(x,z)+(y,z)$
3. $(x,y)=(y,x)$
4. $(x,x)\ge0$，当且仅当$x=0$时等号成立

则称$X$为内积空间，$(x,y)$称为$x,y$的内积。跟上面内积的概念可以结合理解。

Hilbert 空间

完备的内积空间称为Hilbert空间，且Hilbert空间必为Banach 空间。
或者换种说法：
Hilbert空间是：完备的，可能是无限维的，被赋予内积的线性空间。